9347. Плоскость \alpha
проходит через диаметр AB
сферы. Через произвольную точку M
, лежащую на сфере, но не лежащую в плоскости \alpha
, проведена плоскость \beta
, перпендикулярная прямой AB
. Отрезок CD
— общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями \alpha
и \beta
.
а) Докажите, что \angle CMD=90^{\circ}
.
б) Вершина конуса совпадает с точкой A
, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью \beta
. Найдите объём конуса, если диаметр сферы равен 15, а MB=3\sqrt{5}
.
Ответ. 144\pi
.
Решение. а) Пусть O_{1}
— точка пересечения диаметра AB
сферы с плоскостью \beta
. Поскольку O_{1}A\perp\alpha
, точка O_{1}
— центр окружности пересечения сферы с плоскостью \beta
. Точка O_{1}
лежит в обеих плоскостях \alpha
и \beta
, значит, она принадлежит прямой CD
пересечения этих плоскостей, поэтому CD
— диаметр окружности пересечения сферы с плоскостью \beta
. Точка M
лежит на окружности с диаметром CD
, следовательно, \angle CMD=90^{\circ}
.
б) Отрезок MO_{1}
— высота прямоугольного треугольника AMB
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
BO_{1}=\frac{BM^{2}}{AB}=\frac{45}{15}=3.
Тогда
AO_{1}=AB-BO_{1}=15-3=12,~O_{1}M=\sqrt{BO_{1}\cdot AO_{1}}=\sqrt{3\cdot12}=6.
Отрезок AO_{1}
— высота конуса, о котором говорится в условии задачи, а O_{1}M
— радиус основания, следовательно, объём конуса равен
\frac{1}{3}\pi O_{1}M^{2}\cdot AO_{1}=\frac{1}{3}\pi\cdot36\cdot12=144\pi.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 9.7, с. 81