9349. Одно основание цилиндра лежит в плоскости основания правильной четырёхугольной пирамиды, а окружность второго вписана в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку на её высоте, делящую эту высоту в отношении 1:2
, считая от вершины.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше стороны основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ. \pi:18
.
Решение. а) Пусть O_{1}
— точка на высоте SO
правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
, SO_{1}:O_{1}O=1:2
; плоскость, проходящая через точку O_{1}
параллельно плоскости ABCD
, пересекает боковые рёбра SA
, SB
, SC
и SD
пирамиды в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
соответственно. Обозначим AB=a
. Тогда A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— квадрат со стороной A_{1}B_{1}=\frac{1}{3}a
. Окружность основания цилиндра вписана в этот квадрат, значит её радиус равен половине стороны квадрата, т. е.
r=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}a=\frac{1}{6}a=\frac{1}{6}AB.
б) Пусть SO=h
— высота пирамиды, V
— объём, OO_{1}=h_{1}
— высота цилиндра, V_{1}
— объём. Тогда
h_{1}=\frac{2}{3}h,~V=\frac{1}{3}a^{2}h,~V_{1}=\pi r^{2}h_{1}=\pi\frac{1}{36}a^{2}\cdot\frac{2}{3}h=\frac{1}{54}\pi a^{2}h.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V}=\frac{\frac{1}{54}\pi a^{2}h}{\frac{1}{3}a^{2}h}=\frac{\pi}{18}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016