9350. Одно основание цилиндра лежит в плоскости основания правильной треугольной пирамиды, а окружность второго вписана в сечение пирамиды плоскостью, проходящей через середину её высоты.
а) Докажите, что радиус основания цилиндра в шесть раз меньше высоты основания пирамиды.
б) Найдите отношение объёмов цилиндра и пирамиды.
Ответ. \pi\sqrt{3}:24
.
Решение. а) Пусть O_{1}
— середина высоты SO
правильной треугольной пирамиды SABC
, а плоскость, проходящая через точку O_{1}
параллельно плоскости ABCD
, пересекает боковые рёбра SA
, SB
и SC
пирамиды в точках A_{1}
, B_{1}
, и C_{1}
соответственно. Обозначим AB=a
. Тогда высота основания равна \frac{a\sqrt{3}}{2}
. Сечение пирамиды — равносторонний треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
со стороной A_{1}B_{1}=\frac{a}{2}
. Окружность основания цилиндра вписана в этот треугольник, значит, если r
— её радиус, то
r=\frac{A_{1}B_{1}\sqrt{3}}{6}=\frac{a\sqrt{3}}{12}=\frac{1}{6}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}.
б) Пусть SO=h
— высота пирамиды, V
— объём, OO_{1}=h_{1}
— высота цилиндра, V_{1}
— объём. Тогда
h_{1}=\frac{1}{2}h,~V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12},
V_{1}=\pi r^{2}h_{1}=\pi\frac{1}{48}a^{2}\cdot\frac{1}{2}h=\frac{1}{96}\pi a^{2}h.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V}=\frac{\frac{1}{96}\pi a^{2}h}{\frac{a^{2}h\sqrt{3}}{12}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{24}.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016