9351. Цилиндр вписан в прямую четырёхугольную призму (окружности оснований цилиндра вписаны в основания призмы).
а) Докажите, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны.
б) Найдите отношение площадей боковых поверхностей цилиндра и призмы, если основание призмы — ромб с углом 30^{\circ}
.
Ответ. \frac{\pi}{8}
.
Решение. а) Пусть высота призмы равна h
. Основание призмы — вписанный четырёхугольник, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. a+c=b+d
. Боковая грань призмы — прямоугольник, одна сторона которого совпадает со стороной основания, а соседняя сторона равна h
. Суммы площадей противоположных боковых граней призмы равны, так как ah+ch=bh+dh
.
б) Пусть основание призмы — ромб ABCD
с центром O
, AB=a
, \angle BAD=30^{\circ}
, а радиус основания цилиндра равен r
. Если E
— точка касания окружности со стороной BC
, а H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки D
на сторону BC
, то OE=r
, DH=2OE=2r
. Из прямоугольного треугольника DHC
находим, что
2r=DH=CD\sin\angle BCD=a\sin30^{\circ}=\frac{a}{2},
значит, r=\frac{a}{4}
.
Пусть S_{1}
— площадь боковой поверхности цилиндра, S_{1}
— площадь боковой поверхности призмы. Тогда
S_{1}=2\pi rh=2\pi\cdot\frac{a}{4}=\frac{\pi a}{2},~S_{2}=4ah.
Следовательно,
\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{\frac{\pi a}{2}}{4ah}=\frac{\pi}{8}.