9353. Точка P
лежит на диаметре AB
сферы. При этом AP:PB=3:1
. Через прямую AB
проведена плоскость \alpha
, а через точку P
— плоскость \beta
, перпендикулярная AB
. Отрезок CD
— общая хорда окружностей сечений сферы этими плоскостями, S
— окружность пересечения сферы с плоскостью \beta
, M
— точка, лежащая на окружности S
.
а) Докажите, что AM=CD
.
б) Найдите объём пирамиды с вершиной M
и основанием ACBD
, если диаметр сферы равен 12, а M
— наиболее удалённая от плоскости \alpha
точка окружности S
.
Ответ. 108.
Решение. а) Поскольку P
— общая точка плоскостей \alpha
и \beta
, она лежит на прямой CD
пересечения этих плоскостей. Диаметр AB
перпендикулярен плоскости \beta
, поэтому P
— центр окружности S
.
Пусть O
— центр сферы, R
— радиус. Тогда точка P
— середина OB
, BCOD
— ромб со стороной R
и диагональю OB=R
. Значит, CD=R\sqrt{3}
.
Точка M
лежит на сфере с диаметром AB
, поэтому \angle AMB=90^{\circ}
, MP
— высота прямоугольного треугольника AMB
, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
AM=\sqrt{AP\cdot AB}=\sqrt{\frac{3}{4}AB\cdot AB}=\sqrt{\frac{3}{4}\cdot2R\cdot2R}=R\sqrt{3}.
Следовательно, AM=CD
.
б) Диагонали AB
и CD
четырёхугольника ACBD
перпендикулярны, причём AB=2R
, CD=R\sqrt{3}
. Значит,
S_{ACBD}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot2R\cdot R\sqrt{3}=R^{2}\sqrt{3}.
Отрезок CD
— диаметр окружности S
с центром P
, а M
— наиболее удалённая от CD
точка этой окружности, значит, MP=\frac{1}{2}CD=\frac{R\sqrt{3}}{2}
. Кроме того, MP
— высота пирамиды вершиной M
и основанием ACBD
. Следовательно,
V_{MACBD}=\frac{1}{3}S_{ACBD}\cdot MP=\frac{1}{3}\cdot R^{2}\sqrt{3}\cdot\frac{R\sqrt{3}}{2}=\frac{R^{3}}{2}=\frac{216}{2}=108.