9357. Две правильные четырёхугольные пирамиды ABCDE
и ABCDF
имеют общее основание ABCD
и расположены по разные стороны от него. Точки M
и N
— середины рёбер BC
и AB
соответственно. Все рёбра пирамид равны. Найдите угол между прямыми:
а) AE
и BF
; б) EM
и FN
.
Ответ. а) 60^{\circ}
; б) \arccos\frac{2}{3}
.
Решение. Первый способ. а) Пусть O
— центр общего основания ABCD
пирамид. Диагонали четырёхугольника BEDF
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам, значит, это параллелограмм (даже ромб). Тогда BF\parallel DE
, и угол между скрещивающимися прямыми AE
и BF
равен углу между пересекающимися прямыми AE
и DE
, т. е. углу AED
равностороннего треугольника AED
.
б) Пусть K
и L
— середины медиан EP
и EN
граней AED
и AEB
соответственно, а все рёбра пирамид равны a
. Тогда OK
и OL
— средние линии треугольников PME
и ENF
, поэтому OK\parallel EM
и OL\parallel FN
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми EM
и FN
равен углу между пересекающимися прямыми OK
и OL
, т. е. углу KOL
при вершине равнобедренного треугольника KOL
со сторонами
OK=OL=\frac{1}{2}NF=\frac{a\sqrt{3}}{4},~KL=\frac{1}{2}PN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{4}.
По теореме косинусов
\cos\angle KOL=\frac{OK^{2}+OL^{2}-KL^{2}}{2OK\cdot KL}=\frac{\frac{3a^{2}}{16}+\frac{3a^{2}}{16}-\frac{2a^{2}}{16}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{4}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{2}{3}
.
Второй способ. б) Пусть O
— центр общего основания ABCD
пирамид, H
— середина ребра CD
. Диагонали NH
и EF
четырёхугольника ENFH
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам, значит, это параллелограмм (даже ромб). Тогда EH\parallel FN
, и угол между скрещивающимися прямыми EM
и FN
равен углу между пересекающимися прямыми EH
и EM
, т. е. углу MEH
равнобедренного треугольника MEH
со сторонами
EM=EH=\frac{a\sqrt{3}}{2},~MH=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
По теореме косинусов
\cos\angle MEH=\frac{EM^{2}+EH^{2}-MH^{2}}{2EM\cdot EH}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-\frac{2a^{2}}{4}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{2}{3}
.
Третий способ. б) Пусть AB=2
. Тогда OM=ON=1
, OE=OF=\sqrt{2}
. Обозначим \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{ON}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{OE}=\overrightarrow{c}
. Тогда
\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=1,~\overrightarrow{c}^{2}=2,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0,~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0,
\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OE}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c},
\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{FO}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.
Пусть угол между векторами \overrightarrow{ME}
и \overrightarrow{FN}
равен \varphi
. Тогда
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{FN}}{|\overrightarrow{ME}|\cdot|\overrightarrow{FN}|}=\frac{(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b})}{|-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|\cdot|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}|}=
=\frac{\overrightarrow{c}^{2}}{\sqrt{\overrightarrow{a}^{2}+\overrightarrow{c}^{2}}\cdot\sqrt{\overrightarrow{c}^{2}+\overrightarrow{b^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2}\cdot\sqrt{2+1}}=\frac{2}{3}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{2}{3}
.