9359. Два правильных тетраэдра ABCD
и ABCE
имеют общее основание ABC
и расположены по разные стороны от него. Точки M
и N
— середины рёбер AB
и BC
соответственно. Найдите угол между прямыми:
а) AD
и BE
; б) DM
и EN
.
Ответ. а) \arccos\frac{5}{6}
; б) \arccos\frac{17}{18}
.
Решение. а) Пусть рёбра тетраэдров равны a
, O
— центр общего основания ABC
тетраэдров, K
— середина ребра BD
. Тогда OK
и MK
— средние линии треугольников BDE
и ABD
, поэтому OK\parallel BE
и MK\parallel AD
. Значит, угол между скрещивающимися прямыми AD
и BE
равен углу между пересекающимися прямыми OK
и MK
, т. е. углу MKO
при вершине равнобедренного треугольника MKO
со сторонами
OK=MK=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2},~OM=\frac{1}{3}CM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
По теореме косинусов
\cos\angle MKO=\frac{OK^{2}+MK^{2}-OM^{2}}{2OK\cdot MK}=\frac{\frac{a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{12}}{2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}}=\frac{5}{6}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{5}{6}
.
б) Пусть L
— середина отрезка OA
. Тогда OL=\frac{1}{2}OA=ON
, а так как ML
— средняя линия треугольника ABN
, то ML=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}OA
. Диагонали NL
и DE
четырёхугольника DNEL
пересекаются в точке O
и делятся ею пополам, значит, это параллелограмм (даже ромб). Тогда DL\parallel EN
, и угол между скрещивающимися прямыми DM
и EN
равен углу между пересекающимися прямыми DM
и DL
, т. е. углу LDM
равнобедренного треугольника LDM
со сторонами
DL=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2},~ML=\frac{1}{2}OA=\frac{a\sqrt{3}}{6}.
По теореме косинусов
\cos\angle LDM=\frac{DL^{2}+DM^{2}-LM^{2}}{2DL\cdot DM}=\frac{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{3a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{12}}{2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{17}{18}.
Следовательно, искомый угол равен \arccos\frac{17}{18}
.