9369. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
сторона основания AB
равна 12, а боковое ребро AA_{1}
равно 3\sqrt{6}
. На рёбрах AB
и B_{1}C_{1}
отмечены точки K
и L
соответственно, причём AK=2
, B_{1}L=4
. Плоскость \gamma
параллельна прямой AC
и содержит точки K
и L
, точка M
— середина ребра A_{1}C_{1}
.
а) Докажите, что прямая BM
перпендикулярна плоскости \gamma
.
б) Найдите расстояние от точки C
до плоскости \gamma
.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. а) Проведём через точки K
и L
прямые, параллельные AC
. Пусть эти прямые пересекают рёбра BC
и A_{1}B_{1}
в точках K_{1}
и L_{1}
соответственно (рис. 1). Тогда трапеция KL_{1}LK_{1}
является сечением исходной призмы плоскостью \gamma
. Рассмотрим плоскость BB_{1}M
. Пусть эта плоскость пересекает прямые AC
, KK_{1}
и LL_{1}
в точках N
, E
и F
соответственно. Четырёхугольник BB_{1}MN
— прямоугольник, причём
BB_{1}=3\sqrt{6},~B_{1}M=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot A_{1}B_{1}=6\sqrt{3}.
Кроме того,
NE:EB=AK:KB=1:5,~B_{1}F:FM=B_{1}L:LC_{1}=1:2,
откуда MF=4\sqrt{3}
, NE=\sqrt{3}
. Пусть FP
— высота трапеции EFB_{1}B
(рис. 2), тогда
EP=MF-NE=3\sqrt{3}.
Поскольку \tg\angle BEF=\frac{FP}{EP}=\sqrt{2}=\frac{MB_{1}}{BB_{1}}=\tg\angle MBB_{1}
, то
\angle BEF=\angle MBB_{1}=90^{\circ}-\angle MBE,
т. е. прямые EF
и BM
перпендикулярны.
Прямая KK_{1}
параллельна прямой AC
, которая перпендикулярна плоскости BB_{1}M
. Значит, прямые KK_{1}
и EF
перпендикулярны прямой BM
, поэтому прямая BM
перпендикулярна плоскости \gamma
.
б) Поскольку прямая AC
параллельна плоскости \gamma
, расстояние от точки C
до плоскости \gamma
равно расстоянию от точки N
до прямой EF
. Опустим из точки N
перпендикуляр NH
на прямую EF
. Тогда
NH=NE\sin\angle NEH=NE\sin\angle BEF=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}.