9371. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
сторона AB
основания равна 2\sqrt{3}
, а высота SH
пирамиды равна 3. Точки M
и N
— середины рёбер CD
и AB
соответственно, а NT
— высота пирамиды с вершиной N
и основанием SCD
.
а) Докажите, что точка T
является серединой отрезка SM
.
б) Найдите расстояние между прямыми NT
и SC
.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{5}
.
Решение. а) Поскольку пирамида SABCD
правильная, точки T
и H
лежат в плоскости SNM
, перпендикулярной плоскости ABC
(рис. 1).
AH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\sqrt{6},~AS=\sqrt{SH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{15},
MN=AD=2\sqrt{3},~SM=SN=\sqrt{SA^{2}-AN^{2}}=2\sqrt{3}.
Значит, треугольник SNM
равносторонний, а NT
— его высота. Следовательно, T
— середина SM
.
б) Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки T
на прямую SC
(рис. 2). Прямые NT
и TE
перпендикулярны, так как NT
— высота пирамиды NSCD
. Поскольку отрезок TE
перпендикулярен как прямой SC
, так и прямой NT
, его длина и есть искомое расстояние.
Прямоугольные треугольники SET
и SMC
подобны, следовательно, \frac{ET}{MC}=\frac{ST}{SC}
, откуда
ET=\frac{ST\cdot CM}{SC}=\frac{SM\cdot CD}{4SC}=\frac{\sqrt{15}}{5}.