9372. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
известны длины рёбер: AB=4
, BC=3
, AA_{1}=2
. Точки P
и Q
— середины рёбер A_{1}B_{1}
и CC_{1}
соответственно. Плоскость APQ
пересекает ребро B_{1}C_{1}
в точке U
.
а) Докажите, что B_{1}U:OC_{1}=2:1
.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью APQ
.
Ответ. \frac{11\sqrt{3}}{2}
.
Решение. а) Пусть прямые AP
и BB_{1}
пересекаются в точке X
. Тогда точка U
— точка пересечения прямых XQ
и B_{1}C_{1}
.
Треугольники AXB
и PXB_{1}
подобны, поэтому
\frac{XB_{1}}{XB}=\frac{PB_{1}}{AB}=\frac{1}{2},~B_{1}X=BB_{1}=2.
Треугольники B_{1}XU
и C_{1}QU
подобны, поэтому
\frac{B_{1}U}{C_{1}U}=\frac{B_{1}X}{C_{1}Q}=2,~B_{1}U=2C_{1}U.
Значит, B_{1}U:UC_{1}=2:1
.
б) Пусть Y
— точка пересечения прямых QX
и BC
, а V
— точка пересечения прямых CD
и AY
. Тогда пятиугольник APUQV
— сечение, площадь которого надо найти.
Треугольники C_{1}UQ
и CYQ
равны, поэтому CY=C_{1}U=1
. Треугольники AYB
и VYC
подобны, поэтому
\frac{VC}{AB}=\frac{CY}{BY}=\frac{1}{4},~VC=\frac{AB}{4}=1.
Четырёхугольник APUY
— равнобедренная трапеция, в которой
AP=PU=UY=2\sqrt{2},~AY=4\sqrt{2}.
Все стороны треугольника QYV
равны \sqrt{2}
. Высота трапеции APUY
равна
\sqrt{AP^{2}-\left(\frac{AY-PU}{2}\right)^{2}}=\sqrt{6},
а площадь трапеции равна
\frac{2\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{6}=6\sqrt{3}.
Площадь треугольника QYV
равна \frac{\sqrt{3}}{2}
. Значит, искомая площадь сечения равна
6\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{11\sqrt{3}}{2}.