9373. В основании прямой треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит прямоугольный треугольник с прямым углом C
, AC=4
, BC=16
, AA_{1}=4\sqrt{2}
. Точка Q
— середина ребра A_{1}B_{1}
, а точка P
делит ребро B_{1}C_{1}
в отношении 1:2
, считая от вершины C_{1}
. Плоскость APQ
пересекает ребро CC_{1}
в точке M
.
а) Докажите, что точка M
является серединой ребра CC_{1}
.
б) Найдите расстояние от точки A_{1}
до плоскости APQ
.
Ответ. \frac{32\sqrt{57}}{57}
.
Решение. а) Пусть R
— точка пересечения прямых PQ
и A_{1}C_{1}
, а K
— середина B_{1}C_{1}
. Тогда точка M
— точка пересечения прямых AR
и CC_{1}
. Треугольники PKQ
и PC_{1}R
подобны, поэтому
\frac{C_{1}R}{KQ}=\frac{C_{1}P}{KP}=2,~C_{1}R=2KQ=A_{1}C_{1}=4.
Отрезок C_{1}M
— средняя линия треугольника AA_{1}R
, поскольку A_{1}C_{1}=C_{1}R
и прямые AA_{1}
и CC_{1}
параллельны. Значит,
C_{1}M=\frac{AA_{1}}{2}=\frac{CC_{1}}{2},
т. е. M
— середина CC_{1}
.
б) Расстояние от точки A_{1}
до плоскости APQ
равно высоте h
пирамиды A_{1}AQR
, опущенной из вершины A_{1}
.
С одной стороны, объём пирамиды A_{1}AQR
равен
\frac{1}{3}\cdot\frac{B_{1}C_{1}}{2}\cdot\frac{1}{2}AA_{1}\cdot A_{1}R=\frac{128\sqrt{2}}{3}.
С другой стороны, объём пирамиды A_{1}AQR
равен \frac{1}{3}h\cdot S_{\triangle AQR}
. Следовательно,
h=\frac{128\sqrt{2}}{S_{\triangle AQR}}.
В треугольнике AQR
находим стороны:
AQ=QR=10,~AR=4\sqrt{6}.
Площадь равнобедренного треугольника AQR
равна
S_{\triangle AQR}=\frac{1}{2}AR\sqrt{AQ^{2}-\frac{AR^{2}}{4}}=4\sqrt{114}.
Следовательно,
h=\frac{128\sqrt{2}}{4\sqrt{114}}=\frac{32\sqrt{57}}{57}.