9378. Внутри куба с ребром 3 расположены две сферы. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается тех же боковых граней куба, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равен радиус второй сферы, если радиус первой сферы равен 1?
Ответ. \frac{5-\sqrt{15}}{2}
.
Решение. Пусть сфера радиуса 1 с центром O
касается граней AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
и основания ABCD
в точке M
; сфера радиуса r
с центром Q
касается граней AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
и основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке N
, а также касается первой сферы.
Заметим, что точки M
и N
лежат на диагоналях AC
и A_{1}C_{1}
квадратов ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
соответственно. Проведём сечение куба и сфер плоскостью, проходящей через параллельные прямые AC
и A_{1}C_{1}
. Получим, прямоугольник AA_{1}C_{1}C
, касающиеся окружности радиусов 1 и r
с центрами соответственно O
и Q
, расположенные на диагонали AC_{1}
, причём первая из них касается стороны AC
прямоугольника точке M
, а вторая — стороны A_{1}C_{1}
в точке N
.
Пусть H
— проекция точки Q
на прямую AC
. В прямоугольной трапеции MOQH
с основаниями OM=1
и QH=3-r
известно, что
OQ=1+r,~QH=3-r.
Из точки O
опустим перпендикуляр OP
на прямую QH
. Тогда
QP=|QH-OM|=|3-r-1|=|2-r|.
По теореме Пифагора OP^{2}+QP^{2}=OQ^{2}
, или
(\sqrt{2}-r\sqrt{2})^{2}+(2-r)^{2}=(1+r)^{2},~\mbox{или}~2r^{2}-10r+5=0,
откуда r=\frac{5-\sqrt{15}}{2}
(второй корень не удовлетворяет условию задачи, так как он больше ребра куба).
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2011