9379. В кубе с ребром 1 расположены две сферы различных радиусов. Первая касается плоскости основания и двух соседних боковых граней куба. Вторая сфера касается двух других боковых граней куба, грани куба, параллельной основанию, и первой сферы. Чему равна сумма радиусов сфер?
Ответ. \frac{3-\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть сфера радиуса R
с центром O
касается граней AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
и основания ABCD
в точке M
; сфера радиуса r
с центром Q
касается боковых граней BB_{1}C_{1}C
, DD_{1}C_{1}C
и основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
в точке N
.
Проведём диагональное сечение AA_{1}C_{1}C
. Получим, касающиеся окружности радиусов R
и r
с центрами O
и Q
на диагонали AC_{1}
, причём первая окружность касается стороны AC
прямоугольника AA_{1}C_{1}C
в точке M
, а вторая — стороны A_{1}C_{1}
в точке N
.
Точки M
и N
лежат на диагоналях квадратов ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, поэтому AM=R\sqrt{2}
и C_{1}N=r\sqrt{2}
. Тогда
OA=\sqrt{OM^{2}+AM^{2}}=\sqrt{R^{2}+2R^{2}}=R\sqrt{3},~C_{1}Q=r\sqrt{3}.
Расстояние между центрами сфер, касающихся внешним образом, равно сумме их радиусов, поэтому OQ=R+r
. Значит,
\sqrt{3}=AC_{1}=OA+OQ+QC_{1}=R\sqrt{3}+R+r+r\sqrt{3}=(R+r){\sqrt{3}+1},
откуда находим, что
R+r=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2011