9380. В закрытой коробке, имеющей форму куба с ребром 8, лежат два шара. Радиус первого из них равен 2. Этот шар касается плоскости основания и двух соседних боковых граней. Второй шар радиуса 3 касается двух других боковых граней куба и первого шара. На какой высоте над дном коробки находится центр второго шара?
Ответ. 2+\sqrt{7}
.
Решение. Пусть шар радиуса 2 с центром O
касается граней AA_{1}B_{1}B
, AA_{1}D_{1}D
и основания ABCD
, причём грани ABB_{1}C_{1}
— в точке M
; шар радиуса 3 с центром Q
касается граней BB_{1}C_{1}C
, DD_{1}C_{1}C
, причём грани DD_{1}C_{1}C
— в точке N
, а также касается первого шара.
Пусть N'
— ортогональная проекция точки Q
на грань ABB_{1}B
. Рассмотрим прямоугольную трапецию OQN'M
с основаниями
OM=2,~QN'=MN'-QN=8-3=5
и боковыми сторонами
OQ=2+3=5,~OM=2.
Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на прямую QN'
. Тогда
MN'=OH=\sqrt{OQ^{2}-HQ^{2}}=\sqrt{OQ^{2}-(QN'-OM)^{2}}=\sqrt{5^{2}-(5-2)^{2}}=4.
Пусть K
и L
— ортогональные проекции точек соответственно M
и N'
на ребро AB
, d
— искомое расстояние от центра шара радиуса 3 до дна коробки. Рассмотрим прямоугольную трапецию MKLN'
с основаниями OK=2
, LN'=d
и боковыми сторонами
MN'=4,~KL=AB-AK-BL=8-2-3=3.
Опустим перпендикуляр MF
из точки M
на прямую LN'
. Тогда
FN'=OH=\sqrt{MN'^{2}-MF^{2}}=\sqrt{MN'^{2}-KL^{2}}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.
Следовательно,
d=LN'=LF+FN'=2+\sqrt{7}.