9382. В конус вписан цилиндр объёма 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усечённый конус объёмом 63. Найдите объём исходного конуса.
Ответ. 64.
Решение. Пусть высота и радиус исходного конуса равны H
и R
, а высота и радиус цилиндра равны h
и r
. Воспользуемся формулой для объёма усечённого конуса:
\frac{1}{3}\pi(R^{2}+Rr+r^{2})h=63.
Также мы знаем, что \pi r^{2}h=9
. Поделив соответствующие части равенств получаем,
\left(\frac{R}{r}\right)^{2}+\left(\frac{R}{r}\right)+1=\frac{63\cdot3}{9}=21.
Условию задачи удовлетворяет только корень \frac{R}{r}=4
. Тогда
\frac{H-h}{H}=\frac{r}{R}=\frac{1}{4},~\frac{h}{H}=\frac{3}{4},
Следовательно, объём исходного конуса равен
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}(\pi r^{2}h)\left(\frac{R}{r}\right)^{2}\cdot\frac{H}{h}=\frac{1}{3}\cdot9\cdot4^{2}\cdot\frac{4}{3}=64.
Источник: Дополнительное вступительное испытание в МГУ. — 2015, март, № 10