9384. В сферу радиуса R
вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота равна \frac{4}{3}R
. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану основания? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.
Ответ. \frac{2R^{2}\sqrt{2}}{\sqrt{33}}
, 3:19
.
Решение. 1. Пусть H
— центр основания ABC
правильной треугольной пирамиды ABCD
, M
— середина ребра AC=a
, O
— центр описанной сферы. Тогда DH=\frac{4R}{3}
— высота пирамиды,
OH=DH-OD=\frac{4R}{3}-R=\frac{1}{3}R,~
\frac{a\sqrt{3}}{3}=AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{1}{9}R^{2}}=\frac{2R\sqrt{2}}{3},
откуда a=\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
. Значит,
DC=DB=DA=\sqrt{AH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{\frac{8}{9}R^{2}+\frac{16}{9}R^{2}}=\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a=AB.
Следовательно, ABCD
— правильный тетраэдр с ребром a
.
Пусть секущая плоскость проходит через медиану BM
грани ABC
и пересекает (для определённости) ребро DC
в точке K
. Тогда площадь сечения минимальна, если высота KP
треугольника BKM
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BM
и DC
, и при этом точка K
лежит на отрезке CD
(а не на его продолжении).
Опустим перпендикуляр CC'
на прямую l
, проведённую через точку H
параллельно ребру AC
. Тогда CC'
— перпендикуляр к плоскости, пересекающихся прямых l
и DH
, а C'D
— ортогональная проекция прямой CD
на эту плоскость. Значит, расстояние между прямыми CD
и BM
равно высоте HT
прямоугольного треугольника DHC'
(см. задачу 8406). В треугольнике DHC'
известны катеты
HC'=MC=\frac{a}{2},~DH=a\sqrt{\frac{2}{3}}
и гипотенуза
DC'=\sqrt{HC'^{2}+DH^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+\frac{2}{3}a^{2}}=a\sqrt{\frac{11}{3}}.
Следовательно,
HT=\frac{HC'\cdot DH}{DC'}=\frac{\frac{a}{2}\cdot a\sqrt{\frac{2}{3}}}{a\sqrt{\frac{11}{3}}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}.
Пусть прямая, проведённая через точку T
параллельно BM
, пересекает CD
в точке P
, а KP
— перпендикуляр к BM
. Тогда KP
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых CD
и BM
. При этом, точка T
лежит на отрезке DC'
, поэтому точка K
лежит на отрезке CD
. Следовательно,
S_{\min}=\frac{1}{2}BM\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{4\sqrt{11}}=\left(\frac{2R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{4\sqrt{11}}=\frac{2R^{2}\sqrt{2}}{\sqrt{33}}.
2. Заметим, что
\frac{CK}{KD}=\frac{C'T}{TD}=\frac{C'H^{2}}{HD^{2}}=\frac{\frac{a^{2}}{4}}{\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{3}{8}
(см. задачу 1946)
Площадь основания BCM
треугольной пирамиды KBCM
вдвое меньше площади основания ABC
тетраэдра ABCD
, а высота пирамиды KBCM
составляет \frac{3}{11}
высоты тетраэдра ABCD
, значит,
V_{KBCM}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{11}V_{ABCD}=\frac{3}{22}V_{ABCD}.
Следовательно, отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае, равно 3:19
.