9388. Угол при вершине осевого сечения конуса равен \arccos\frac{7}{9}
.
а) Докажите, что площадь полной поверхности конуса в четыре раза больше площади его основания.
б) Найдите угол в развёртке боковой поверхности.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. а) Пусть S
— вершина конуса, O
— центр основания, ASB
— осевое сечение конуса, \alpha
— угол при вершине осевого сечения, r
— радиус основания конуса, l
— образующая, S
— площадь полной поверхности, S_{0}
— площадь основания. Тогда
\cos\alpha=\frac{7}{9},~\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{7}{9}}{2}}=\frac{1}{3},
l=SA=\frac{OA}{\sin\frac{\alpha}{2}}=\frac{r}{\frac{1}{3}}=3r,~S=\pi rl+\pi r^{2}=3\pi r^{2}+\pi r^{2}=4\pi r^{2}=4S_{0}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть MSN
— развёртка боковой поверхности конуса, т. е. сектор окружности с центром S
радиуса l
, причём длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, т. е. 2\pi r
. Тогда площадь сектора равна \frac{\beta}{2\pi}\cdot\pi l^{2}
, где \beta
— искомый угол в развёртке. С другой стороны — это площадь боковой поверхности конуса, т. е. \pi rl
. Из равенства \frac{\beta}{2\pi}\cdot\pi l^{2}=\pi rl
находим, что
\beta=\frac{2\pi r}{l}=\frac{2\pi r}{3r}=\frac{2\pi}{3}.