9394. Боковое ребро правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
относится к стороне основания как 1:\sqrt{2}
. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите угол между прямой C_{1}M
и плоскостью AA_{1}B_{1}B
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть N
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Тогда BMC_{1}N
— параллелограмм, поэтому NB\parallel C_{1}M
. Значит, искомый угол — это угол наклонной NB
с плоскостью AA_{1}B_{1}B
.
Опустим перпендикуляр NH
из точки N
на прямую A_{1}B_{1}
. Поскольку NH\perp A_{1}B_{1}
и NH\perp AA_{1}
, прямая NH
перпендикулярна плоскости AA_{1}B_{1}B
. Значит, искомый угол равен углу NBH
.
Пусть CC_{1}=a
, A_{1}B_{1}=a\sqrt{2}
. Перпендикуляр NH
вдвое меньше высоты равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённой из вершины C_{1}
, т. е.
NH=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{4}.
Из прямоугольного треугольника BB_{1}N
находим, что
BN=\sqrt{NB_{1}^{2}+BB_{1}^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{2}+a^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.
Значит, NH=\frac{1}{2}BN
. Следовательно, \angle NBH=30^{\circ}
.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2016
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — пример 3, с. 41