9398. Найдите площадь сечения единичного куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, AD
и CC_{1}
.
Ответ. \frac{7\sqrt{11}}{24}
.
Решение. Пусть K
, L
и M
— середины рёбер соответственно AB
, AD
и CC_{1}
данного куба; F
и G
— точки пересечения прямой KL
с прямыми CD
и BC
соответственно. Тогда секущая плоскость пересекает ребро BB_{1}
в точке P
пересечения прямых BB_{1}
и MG
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
. Аналогично, строится точка Q
пересечения секущей плоскости с ребром DD_{1}
. Таким образом, искомое сечения — пятиугольник KPMQL
.
Пусть O
— центр грани ABCD
, E
— точка пересечения отрезков KL
и AC
. Поскольку E
и M
— общие точки секущей плоскости и плоскости AA_{1}C_{1}C
, эти плоскости пересекаются по прямой ME
, а так как KL
— средняя линия треугольника ABD
, то CE\perp KL
и
CE=\frac{3}{4}AC=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Ребро CC_{1}
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, поэтому CE
— ортогональная проекция наклонной ME
на эту плоскость, а CEM
— линейный угол двугранного угла между секущей плоскостью и плоскостью ABCD
. Из прямоугольного треугольника CEM
находим, что
ME=\sqrt{CM^{2}+CE^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{8}}=\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{2}},
\cos\angle CEM=\frac{CE}{ME}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{2}}}=\frac{3}{\sqrt{11}}.
Пятиугольник KBCDL
— ортогональная проекция сечения KPMQL
на плоскость ABCD
, а так как
S_{KBCDL}=S_{ABCD}-S_{\triangle AKL}=S_{ABCD}-\frac{1}{4}S_{\triangle ABD}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8},
то по теореме о площади ортогональной проекции
S_{KPMQL}=\frac{S_{KBCDL}}{\cos\angle CEM}=\frac{\frac{7}{8}}{\frac{3}{\sqrt{11}}}=\frac{7\sqrt{11}}{24}.