9400. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Сторона основания пирамиды равна 4, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60^{\circ}
. Найдите расстояние от точки A
до плоскости BSC
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть O
— центр основания пирамиды. Поскольку прямая OA
параллельна плоскости BSC
, точки A
и O
равноудалены от этой плоскости. Опустим перпендикуляр OH
из точки O
на апофему SM
пирамиды, лежащую в грани BSC
. Тогда OH
— перпендикуляр к плоскости BSC
, а OMS
— линейный угол двугранного угла при стороне BC
основания пирамиды. По условию \angle OMS=60^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника OHM
находим, что
OH=OM\sin\angle OMS=\frac{BC\sqrt{3}}{2}\sin60^{\circ}=\frac{4\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3.