9401. Четыре шара радиуса R
касаются некоторой плоскости в вершинах квадрата, причём каждый из шаров касается двух других. Найдите радиус шара, касающегося данных и той же плоскости.
Ответ. \frac{R}{2}
.
Решение. Пусть A
, B
, C
и D
— точки касания шаров радиуса R
с указанной плоскостью, а E
— точка касания с этой плоскостью шара искомого радиуса r
(рис. 1). Рассмотрим ортогональную проекцию шаров на указанную плоскость (рис. 2). Получим четыре окружности радиуса R
с центрами в вершинах квадрата ABCD
и окружность центром E
радиуса r
. При этом каждая из окружностей радиуса R
касается двух других таких окружностей, а точка E
— центр квадрата ABCD
. Тогда EA=R\sqrt{2}
, а так как EA
— общая касательная касающихся шаров радиусов R
и r
, то ED=2\sqrt{Rr}
(см. задачу 365). Из уравнения R\sqrt{2}=2\sqrt{rR}
находим, что r=\frac{R}{2}
.