9406. Дана треугольная пирамида ABCD
и некоторая точка O
пространства. На ребре AB
берётся произвольная точка K
, а на ребре CD
— произвольная точка M
. Пусть P
— такая точка в пространстве, что KMOP
— параллелограмм. Докажите, что при изменении положения точек K
и M
точка P
описывает плоский многоугольник. Как называется этот многоугольник? Найдите его площадь, если площадь четырёхугольника, по которому пирамиду ABCD
пересекает плоскость, параллельная AB
и CD
и делящая ребро AC
в отношении 2:1
, равна S
.
Ответ. Параллелограмм; \frac{9}{2}S
.
Решение. Первый способ. Заметим, что при замене точки O
на точку O_{1}
точка P
сдвигается на вектор \overrightarrow{OO_{1}}
(см. рис. 1), поэтому точка P
описывает такой же многоугольник. Значит, в качестве точки O
можно взять любую точку пространства, в частности, точку C
.
Достроим пирамиду ABCD
до треугольной призмы ABDEFC
(рис. 2) с основаниями ABD
и EFC
(AE\parallel BF\parallel DC
). Рассмотрим параллелограмм KMCQ
. Если точка M
пробегает отрезок CD
, а K
фиксирована, то точка P
описывает отрезок KQ
. При изменении K
и M
точка P
заполняет параллелограмм ABFE
, стороны которого равны и параллельны AB
и CD
.
Пусть угол между прямыми AB
и CD
равен \alpha
. Сечение, указанное в условии задачи, есть параллелограмм (рис. 3) с углом \alpha
и сторонами \frac{1}{3}AB
и \frac{2}{3}CD
(или \frac{2}{3}AB
и \frac{1}{3}CD
). Тогда
S=\frac{1}{3}AB\cdot\frac{2}{3}CD\sin\alpha=\frac{2}{9}AB\cdot CD\sin\alpha=\frac{2}{9}S_{AEFB}.
Следовательно, S_{AEFB}=\frac{9}{2}S
.
Второй способ. Обозначим \overrightarrow{DC}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{c}
. Поскольку KMOP
параллелограмм,
\overrightarrow{OP}=x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},
где x
и y
— числа из отрезка [0;1]
.
Отложим векторы \overrightarrow{a}
, \overrightarrow{b}
и \overrightarrow{c}
от точки O
. Поскольку \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
— неколлинеарные векторы, то конец вектора x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}
при изменении x
и y
в указанных пределах описывает параллелограмм со сторонами, равными и параллельными отрезкам DC
и BA
, а так как \overrightarrow{c}=\overrightarrow{CB}
— фиксированный вектор, то конец вектора x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
, т. е. точка P
, описывает такой же параллелограмм.
Вычисление площади этого параллелограмма см. в первом способе.