9409. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка M
лежит на боковом ребре SD
, причём DM:SM=1:3
. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку M
параллельно прямым SA
и BD
. В каком отношении эта плоскость делит ребро SC
?
Ответ. 3:5
, считая от точки S
.
Решение. Плоскость ASD
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку M
. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость ACD
по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно SA
. Пусть K
— точка пересечения прямой l
с ребром AD
. Тогда DK:KA=DM:MS=1:3
.
Плоскость ABCD
проходит через прямую BD
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку K
. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость ABCD
по прямой m
, проходящей через точку K
параллельно BD
. Пусть L
и P
— точки пересечения прямой m
соответственно с ребром AB
и диагональю AC
основания ABCD
, а O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Тогда
AL:LB=OP:PA=DK:KA=1:3,~AP:PO=3:1,~
\frac{AP}{PC}=\frac{\frac{3}{4}AO}{\frac{1}{4}AO+OC}=\frac{\frac{3}{4}AO}{\frac{1}{4}AO+AO}=\frac{\frac{3}{4}AO}{\frac{5}{4}AO}=\frac{3}{5}.
Плоскость ASC
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку P
. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость ASC
по прямой n
, проходящей через точку P
параллельно SA
. Пусть Q
— точка пересечения прямой n
с ребром SC
. Тогда
SQ:QC=AP:PC=3:5.
Плоскость ASB
проходит через прямую SA
, параллельную секущей плоскости, и имеет с секущей плоскостью общую точку L
. Следовательно, секущая плоскость пересекает плоскость ASB
по прямой p
, проходящей через точку L
параллельно SA
. Пусть N
— точка пересечения прямой n
с ребром SC
. Тогда
BN:NS=BL:LA=1:3.
Итак, сечение пирамиды SABCD
указанной плоскостью — пятиугольник MKLNQ
.