9410. В основании треугольной пирамиды ABCD
лежит правильный треугольник ABC
, кроме того, AD=BC
. Все плоские углы при вершине D
равны между собой. Чему могут быть равны эти углы?
Ответ. 60^{\circ}
или 36^{\circ}
.
Решение. Если треугольники ADB
, BDC
и ACD
равны между собой, то все они равносторонние и углы при вершине D
равны 60^{\circ}
.
Пусть теперь не все указанные треугольники равны между собой. По условию задачи в этих треугольниках стороны AB
, BC
и BD
равны, а также равны противолежащие им углы, значит, равны и радиусы описанных около них окружностей. Кроме того, ADB
и ADC
— равные равнобедренные треугольники, значит, BD=CD
.
Опишем окружность около равнобедренного треугольника BDC
. Поскольку окружности, описанные около треугольников BDC
и ADB
, равны, то вершина A_{1}
равнобедренного треугольника BA_{1}D
, равного треугольнику BAD
и расположенного вне BCD
, будет лежать на описанной окружности треугольника BDC
. Аналогично для вершины A_{2}
треугольника CA_{1}D
. Тогда вписанный пятиугольник DA_{1}BCA_{2}
— правильный. Следовательно, плоские углы при вершине D
пирамиды ABCD
равны 36^{\circ}
.