9412. Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
Ответ. Всегда.
Решение. Заметим, что если Вася сумеет сложить треугольник из рёбер, выходящих из одной вершины тетраэдра, то второй треугольник уже сложен, и задача решена.
Пусть AB
— самое длинное ребро тетраэдра DABC
. Предположим, что ни из тройки рёбер с общей вершиной A
, ни из тройки рёбер с общей вершиной B
Вася не может сложить треугольник. Это означает, что
AB\geqslant AC+AD~\mbox{и}~AB\geqslant BC+BD.
Тогда
2AB\geqslant AC+AD+BC+BD.
С другой стороны, по неравенству треугольника для граней ABD
и ABC
получим, что:
AB\lt AD+BD~\mbox{и}~AB\lt AC+BC.
Тогда
2AB\lt AC+AD+BC+BD
— противоречие.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2016-2017, XLIII, окружной этап, 10 класс