9413. Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?
Ответ. Нет, не может.
Решение. Пусть основанием пирамиды SA_{1}\dots A_{n}
является многоугольник A_{1}\dots A_{n}
. Возможны два случая.
1) Соседние углы в двух соседних боковых гранях — прямые. Пусть, например, \angle SA_{2}A_{1}=\angle SA_{2}A_{3}=90^{\circ}
(рис. 1). Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, SA_{2}\perp A_{1}A_{2}A_{3}
, т. е. SA_{2}
— высота пирамиды, и она принадлежит боковой поверхности пирамиды.
2) В любых двух соседних боковых гранях прямые углы не имеют общей вершины. Пусть в прямоугольных треугольниках SA_{n}A_{1}
, SA_{1}A_{2}
, \dots
, SA_{n-1}A_{n}
вершинами прямых углов являются точки A_{1}
, A_{2}
, \dots
, A_{n}
соответственно (рис. 2). Воспользуемся тем, что в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. Тогда, из треугольника SA_{1}A_{2}
: SA_{1}\gt SA_{2}
, из треугольника SA_{2}A_{3}
: SA_{2}\gt SA_{3}
, и т. д. Записав аналогичные неравенства для каждой боковой грани, получим: SA_{1}\gt SA_{2}\gt\dots \gt SA_{n}\gt SA_{1}
, т. е. SA_{1}\gt SA_{1}
— противоречие. Следовательно, такое расположение прямых углов в боковых гранях невозможно.
Таким образом, внутри данной пирамиды высота лежать не может.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, окружной этап, 11 класс