9416. Петя на ребре AB
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
отметил точку X
, делящую ребро AB
в отношении 1:2
, считая от вершины A
. Приведите пример, как Петя может отметить на рёбрах CC_{1}
и A_{1}D_{1}
соответственно точки Y
и Z
, чтобы треугольник XYZ
был равносторонним. Пример обоснуйте.
Решение. Отметим точки Y
и Z
так, что
A_{1}Z:ZD_{1}=2:1,~C_{1}Y:YC=2:1.
Равенство сторон треугольника XYZ
следует, например, из равенства ломаных XAA_{1}Z
, ZD_{1}C_{1}Y
и YCBX
.
Пусть a
— длина ребра данного куба. Тогда звенья ломаных равны
XA=ZD_{1}=YC=\frac{a}{3},~AA_{1}=D_{1}C_{1}=CB=a,~A_{1}Z=C_{1}Y=BX=\frac{2}{3}a.
Из равенства треугольников XBC
, YC_{1}D_{1}
и ZA_{1}A
(прямоугольные треугольники с равными катетами) следует, что XC=YD_{1}=ZA
.
Ребро CC_{1}
перпендикулярно грани ABCD
, значит, \angle XCY=90^{\circ}
, т. е. треугольник XCY
прямоугольный. Аналогично прямоугольными являются треугольники YD_{1}Z
и ZAX
. Из равенства треугольников XCY
, YD_{1}Z
и ZAX
(прямоугольные треугольники с равными катетами) следует, что XY=YZ=ZX
. Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. Стороны треугольника XYZ
— диагонали равных прямоугольных параллелепипедов с рёбрами a
, \frac{a}{3}
и \frac{2}{3}a
, где a
— длина ребра данного куба. Их длины можно вычислить, используя пространственную теорему Пифагора.
2. Нетрудно доказать, что точки X
, Y
и Z
переходят друг в друга при повороте куба на 120^{\circ}
вокруг диагонали B_{1}D
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2015-2016, XLII, школьный этап, 11 класс