9421. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD
с вершиной S
, M
— середина ребра SD
. Все рёбра пирамиды равны 1. Найдите расстояние между прямыми SB
и CM
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. В равнобедренном треугольнике BSD
угол при вершине S
прямой, так как
SB^{2}+SD^{2}=1+1=2=BD^{2},
поэтому SM\perp SB
. Отрезок CM
— медиана, а значит, и высота равностороннего треугольника CSD
, поэтому SM\perp CM
. Таким образом, SM
— общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SB
и CM
. Следовательно, расстояние между этими прямыми равно длине отрезка SM
, т. е. \frac{1}{2}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 3(г), с. 55