9429. Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равны. Найдите угол между прямой BD_{1}
и плоскостью ABB_{1}
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Будем считать, что все рёбра призмы равны 1.
Тангенс искомого угла \alpha
равен отношению расстояния d
от точки D_{1}
до плоскости ABB_{1}
к длине проекции наклонной D_{1}B
на эту плоскость.
Заметим, что прямая D_{1}B_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}B_{1}
и AA_{1}
плоскости ABB_{1}
, значит, D_{1}B_{1}
— перпендикуляр к плоскости ABB_{1}
, и d=D_{1}B_{1}=\sqrt{3}
. Следовательно,
\tg\alpha=\tg\angle B_{1}BD_{1}=\frac{D_{1}B_{1}}{BB_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.
Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(в), с. 45