9430. Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
равны. Найдите угол между прямой BE_{1}
и плоскостью ABB_{1}
.
Ответ. \arctg\sqrt{\frac{3}{2}}=\arcsin\frac{\sqrt{15}}{5}
.
Решение. Будем считать, что все рёбра призмы равны 1.
Тангенс искомого угла \alpha
равен отношению расстояния d
от точки E_{1}
до плоскости ABB_{1}
к длине проекции наклонной E_{1}B
на эту плоскость.
Заметим, что прямая E_{1}A_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}B_{1}
и AA_{1}
плоскости ABB_{1}
, значит, E_{1}A_{1}
— перпендикуляр к плоскости ABB_{1}
, и d=E_{1}A_{1}=\sqrt{3}
. Следовательно,
\tg\alpha=\tg\angle A_{1}BE_{1}=\frac{E_{1}A_{1}}{BA_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Следовательно, \alpha=\arctg\sqrt{\frac{3}{2}}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(г), с. 45