9431. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны, точка M
— середина ребра BC
. Найдите угол между прямой C_{1}M
и плоскостью ABB_{1}
.
Ответ. \arcsin\frac{\sqrt{15}}{10}
.
Решение. Будем считать, что все рёбра призмы равны 1. Пусть M_{1}
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Тогда M_{1}B\parallel C_{1}M
, поэтому угол между прямой C_{1}M
и плоскостью ABB_{1}
равен углу между прямой M_{1}B
и этой плоскостью.
Синус искомого угла \alpha
равен отношению расстояния d
от точки M_{1}
до плоскости ABB_{1}
к длине наклонной M_{1}B
на эту плоскость.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M_{1}
на ребро A_{1}B_{1}
. Тогда M_{1}H
— перпендикуляр к плоскости ABB_{1}
, так как M_{1}H\perp A_{1}B_{1}
и M_{1}H\perp AA_{1}
. Кроме того, отрезок M_{1}H
равен половине высоты равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённой из вершины C_{1}
, т. е. d=\frac{\sqrt{3}}{4}
, а так как
BM_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+M_{1}B_{1}^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2},
то
\sin\alpha=\frac{d}{M_{1}B}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{10}.
Следовательно, \alpha=\arcsin\frac{\sqrt{15}}{10}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(в), с. 45