9432. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны, точка M
— середина ребра BC
. Найдите угол между прямой AA_{1}
и плоскостью A_{1}C_{1}M
.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Будем считать, что все рёбра призмы равны 1. Пусть M_{1}
— середина ребра B_{1}C_{1}
. Тогда M_{1}M\parallel AA_{1}
, поэтому угол между прямой AA_{1}
и плоскостью A_{1}C_{1}M
равен углу между прямой M_{1}M
и этой плоскостью.
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M_{1}
на ребро A_{1}C_{1}
, а MH
— высота прямоугольного треугольника MM_{1}F
. Тогда M_{1}H
— перпендикуляр к плоскости A_{1}C_{1}M
, так как M_{1}H\perp MF
и M_{1}H\perp A_{1}C_{1}
. Кроме того, отрезок M_{1}F
равен половине высоты равностороннего треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, проведённой из вершины B_{1}
, т. е. M_{1}F=\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Пусть \alpha
— искомый угол между прямой AA_{1}
и плоскостью A_{1}C_{1}M
. Тогда
\alpha=\angle HMM_{1}=\angle FMM_{1}.
Из прямоугольного треугольника FMM_{1}
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle FMM_{1}=\frac{M_{1}F}{MM_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Следовательно, \alpha=\arctg\frac{\sqrt{3}}{4}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(г), с. 45