9435. Точки K
, M
и N
— середины рёбер соответственно BD
, AB
и AC
правильного тетраэдра ABCD
. Найдите угол между прямой BD
и плоскостью KMN
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Сечение правильного тетраэдра ABCD
указанной плоскостью — квадрат KMNL
, где L
— середина ребра CD
. Прямая AD
параллельна этой плоскости, значит, расстояние от вершины D
до плоскости KMN
равно расстоянию до этой плоскости от середины P
ребра AD
, т. е. высоте PH
правильной четырёхугольной пирамиды PKMNL
.
Пусть ребро тетраэдра равно 1. Тогда
MN=PM=\frac{1}{2},~PH=\sqrt{PM^{2}-MH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Поскольку PM\parallel BD
, угол \varphi
между прямой BD
и плоскостью KMN
равен углу между боковым ребром PM
и плоскостью основания KMNL
правильной четырёхугольной пирамиды PKMNL
, т. е. углу PMH
. Из прямоугольного треугольника PHM
находим, что
\sin\varphi=\sin\angle PMH=\frac{MH}{MP}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Следовательно, \varphi=45^{\circ}
.