9439. Все рёбра правильной треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
равны 1. Точка M
— середина ребра BC
. Найдите расстояние от точки M
до прямой A_{1}C_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{19}}{4}
.
Решение. Пусть K
— середина ребра AB
. Сечение призмы плоскостью MA_{1}C_{1}
— равнобедренная трапеция A_{1}KMC_{1}
с основаниями A_{1}C_{1}=1
, KM=\frac{1}{2}
и боковыми сторонами
A_{1}K=C_{1}M=\sqrt{CC_{1}^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Расстояние от точки M
до прямой A_{1}C_{1}
равно высоте MH
этой трапеции.
Из прямоугольного треугольника MHC_{1}
находим, что
MH=\sqrt{MC_{1}^{2}-C_{1}H^{2}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{1-\frac{1}{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{19}}{4}.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4(в), с. 35