9446. Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF
с вершиной S
. Боковое ребро вдвое больше стороны основания. Найдите угол между плоскостями SBD
и ABC
.
Ответ. \arctg2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна 1, боковое ребро равно 2, O
— центр основания, P
— точка пересечения диагоналей CF
и BD
основания.
Поскольку PO\perp BD
и PS\perp BD
(по теореме о трёх перпендикулярах), OPS
— линейный угол искомого двугранного угла. Из прямоугольных треугольников BOS
и SOP
находим, что
SO=\sqrt{SB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},~\tg\angle SOP=\frac{SO}{OP}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{3}.
Следовательно, \angle SOP=\arctg2\sqrt{3}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(г), с. 26