9449. Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Точка M
— середина ребра BC
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM
и ASB
.
б) В каком отношении плоскость FSM
делит отрезок, соединяющий точку A
с серединой ребра SD
?
Ответ. 6:5
, считая от точки A
.
Решение. а) Пусть K
— точка пересечения прямых AB
и FM
. Тогда K
— общая точка плоскостей ASB
и FSM
, а так как S
— также общая точка этих плоскостей, то плоскости ASB
и FSM
пересекаются по прямой SK
.
б) Пусть O
— центр основания ABCDEF
пирамиды, P
— точка пересечения FK
и AD
, N
— середина ребра SD
. Поскольку O
— середина CF
и OP\parallel CM
, отрезок OP
— средняя линия треугольника CMF
. Значит,
OP=\frac{1}{2}CM=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}OA,~AP=\frac{3}{4}OA=\frac{3}{8}AD.
Плоскости FSM
и ASD
пересекаются по прямой SP
. Пусть прямые AN
и SP
, лежащие в плоскости ASD
пересекаются в точке Q
. Тогда Q
— точка пересечения прямой AN
с плоскостью FSM
.
Через точку N
проведём прямую, параллельную SP
. Пусть она пересекает отрезок AD
в точке L
. Тогда L
— середина DP
. Положим AP=6t
. Тогда
AD=\frac{8}{3}AP=16t,~DP=10t,~PL=5t.
Следовательно,
AQ:QN=AP:PL=6t:5t=6:5.