9453. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AC
и BB_{1}
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей MNC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
.
б) В каком отношении плоскость MNC_{1}
делит ребро AB
?
Ответ. 2:1
, считая от точки A
.
Решение. а) Пусть P
— точка пересечения прямых C_{1}N
и BC
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
, L
— точка пересечения прямых PM
и AC
, лежащих в плоскости ABC
, а K
— точка пересечения прямых LN
и A_{1}B_{1}
, лежащих в плоскости A_{1}B_{1}C_{1}
. Тогда C_{1}
и K
— две общие точки плоскостей MNC_{1}
и A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой KC_{1}
.
б) Из равенства треугольников PBN
и C_{1}B_{1}N
получаем, что BP=B_{1}C_{1}
. Тогда L
— точка пересечения медиан AB
и PM
треугольника ACP
. Следовательно, AL:LB=2:1
.