9463. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки A
, B
и D_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро FF_{1}
?
Ответ. 1:1
.
Решение. а) Поскольку прямые AB
и D_{1}E_{1}
параллельны, плоскость, проходящая через точки A
, B
и D_{1}
, проходит через точку E_{1}
. Пусть прямая AB
пересекает прямые CD
и EF
в точках P
и Q
соответственно. Треугольники BCP
и AFQ
равносторонние, поэтому CP=BC=CD
и AQ=AF=EF
.
Пусть прямые D_{1}P
и CC_{1}
, лежащие в плоскости CC_{1}D_{1}D
, пересекаются в точке M
, а прямые E_{1}Q
и FF_{1}
, лежащие в плоскости EE_{1}F_{1}F
, — в точке N
. Тогда требуемое сечение — шестиугольник ABMD_{1}E_{1}N
.
б) Из равенства треугольников FNQ
и F_{1}NE_{1}
получаем, что FN=NF_{1}
. Следовательно, FN:NF_{1}=1:1
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.10, с. 11