9464. Основания шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}E_{1}F_{1}
— правильные шестиугольники. Точка M
— середина ребра AA_{1}
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки C
, D
и M
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BB_{1}
?
Ответ. 1:3
, считая от точки B
.
Решение. а) Поскольку прямая CD
параллельна ребру AF
, лежащему в плоскости AA_{1}F_{1}F
, прямая CD
параллельна этой плоскости. Секущая плоскость, проходит через прямую CD
, параллельную плоскости AA_{1}C_{1}C
, и имеет с этой плоскостью общую точку M
. Значит, эти плоскости пересекаются по прямой l
, проходящей через точку M
параллельно CD
, а значит, и AF
. Пусть N
— точка пересечения прямой l
с ребром FF_{1}
. Тогда N
— середина этого ребра.
Пусть прямая CD
пересекает прямые AB
и EF
в точках P
и Q
соответственно. Треугольники BPC
и DQE
равносторонние, поэтому BP=BC=AB
и EQ=DE=EF
. Пусть прямая MP
пересекает ребро BB_{1}
в точке K
, а прямая NQ
пересекает ребро EE_{1}
в точке L
. Тогда требуемое сечение — шестиугольник CDLNMK
.
б) Поскольку AB=BP
, отрезок BK
— средняя линия треугольника AMP
. Значит,
BK=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{4}AA_{1}=\frac{1}{4}BB_{1}.
Следовательно, BK:KB_{1}=1:3
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.9, с. 11