9465. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AA_{1}
и AB
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M
, N
и C_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BC
?
Ответ. 1:2
, считая от точки B
.
Решение. а) Пусть L
— точка пересечения прямых MN
и BB_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, а K
— точка пересечения прямых C_{1}L
и BC
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник MNKC_{1}
.
б) Из равенства треугольников LNB
и MNA
получаем, что
BL=AM=\frac{1}{2}AA_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}.
Из подобия треугольников LKB
и C_{1}KC
находим, что
BK:KC=BL:CC_{1}=\frac{1}{2}CC_{1}:CC_{1}=1:2.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.8, с. 11