9466. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно CC_{1}
и AB
треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки M
, N
и A_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро BC
?
Ответ. 1:2
, считая от точки C
.
Решение. а) Пусть L
— точка пересечения прямых A_{1}N
и BB_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, а K
— точка пересечения прямых LM
и CC_{1}
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник MA_{1}NK
.
б) Из равенства треугольников BNL
и ANA_{1}
получаем, что
BL=AA_{1}=CC_{1}.
Из подобия треугольников CKM
и BKL
находим, что
CK:KB=CM:BL=\frac{1}{2}CC_{1}:CC_{1}=1:2.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.7, с. 10