9470. Точки M
и N
— середины рёбер соответственно AB
и BC
параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M
, N
и D_{1}
.
б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро AA_{1}
?
Ответ. 1:2
, считая от точки A
.
Решение. а) Пусть прямая MN
пересекает прямые AD
и CD
в точках P
и Q
соответственно, прямая D_{1}P
пересекает ребро AA_{1}
в точке K
, а прямая D_{1}Q
пересекает ребро CC_{1}
в точке L
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MNLD_{1}K
.
б) Из равенства треугольников PAM
и NBM
получаем, что
AP=BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD.
Из подобия треугольников AKP
и A_{1}KD_{1}
находим, что
AK:KA_{1}=AP:A_{1}D_{1}=AP:AD=\frac{1}{2}AD:AD=1:2.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 1.3, с. 10