9477. Основание шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B
, D
и середину ребра FF_{1}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра FF_{1}
, P
и Q
— точки пересечения прямой BD
с прямыми AF
и EF
соответственно, K
— точка пересечения прямых PM
и AA_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}F_{1}F
, а L
— точка пересечения прямых QM
и EE_{1}
, лежащих в плоскости EE_{1}F_{1}F
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник BKMLD
.
Примечание. Из прямоугольного треугольника ABP
получаем, что AP=2AB=2AF
. Аналогично EQ=2EF
. Из подобия треугольников AKP
и FMP
находим, что
AK=\frac{2}{3}FM=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}FF_{1}=\frac{1}{3}FF_{1}=\frac{1}{3}AA_{1}.
Следовательно, AK:KA_{1}=1:2
. Аналогично EL:LE_{1}=1:2
.