9480. Основание шестиугольной призмы ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
— правильный шестиугольник ABCDEF
. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B
, D
и середину ребра AA_{1}
.
Решение. Пусть K
— середина ребра AA_{1}
, P
и Q
— точки пересечения прямой BD
с прямыми AF
и EF
соответственно, L
— точка пересечения прямых PK
и FF_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}F_{1}F
, а N
— точка пересечения прямых LQ
и EE_{1}
, лежащих в плоскости EE_{1}F_{1}F
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник BKLND
.
Примечание. Из прямоугольного треугольника ABP
получаем, что SP=2AB=2AF
. Пусть T
— точка пересечения прямых PK
и A_{1}F_{1}
. Из равенства треугольников A_{1}KT
и AKP
получаем, что
A_{1}T=AP=2AF=2A_{1}F_{1},
поэтому
F_{1}T=A_{1}T-A_{1}F_{1}=A_{1}F_{1}=AF=\frac{1}{3}PF.
Из подобия треугольников TLF_{1}
и PLF
находим, что F_{1}L:LF=F_{1}T:PF=1:3
.
Очевидно, что N
— середина EE_{1}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(г), с. 9