9493. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через вершину B_{1}
, центр грани ABCD
и середину ребра AA_{1}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AA_{1}
, O
— центр параллелограмма ABCD
, K
— точка пересечения прямых B_{1}M
и AB
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, L
и N
— точки пересечения прямой KO
с рёбрами AD
и BC
соответственно. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник B_{1}MLN
(это трапеция, так как ML\parallel CB_{1}
и ML\ne CB_{1}
).
Примечание. Из равенства треугольников AMK
и A_{1}MB_{1}
получаем, что AK=A_{1}B_{1}=AB
, значит, A
— середина отрезка BK
. Тогда AL
— средняя линия треугольника BKN
, поэтому AL=\frac{1}{2}BN
.
Из равенства треугольников CON
и AOL
получаем, что CN=AL=\frac{1}{2}BN
. Следовательно, AL:LD=CN:BN=1:2
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(м), с. 8