9494. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, BC
и CC_{1}
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины рёбер AB
, BC
и CC_{1}
соответственно, P
— точка пересечения прямых KN
и BB_{1}
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
, Q
и F
— точки пересечения прямой PM
с ребром AA_{1}
и прямой A_{1}B_{1}
соответственно, L
и G
— точки пересечения прямой EF
с рёбрами соответственно A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
. Тогда требуемое сечение — шестиугольник MNKGLQ
(его противоположные стороны попарно равны и параллельны).
Примечание. Из равенства треугольников PBN
и KCN
получаем, что
BP=CK=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{1}{2}BB_{1}.
Из равенства треугольников AMQ
и BMP
получаем, что
AQ=BP=\frac{1}{2}BB_{1}=\frac{1}{2}AA_{1},
значит, Q
— середина ребра AA_{1}
.
Аналогично получим, что L
и G
— середины рёбер A_{1}D_{1}
и C_{1}D_{1}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(л), с. 8