9495. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер AD
, CD
и A_{1}B_{1}
.
Решение. Пусть M
, N
и K
— середины рёбер AD
, CD
и A_{1}B_{1}
соответственно, P
и R
— точки пересечения прямой MN
с прямыми соответственно AB
и BC
, L
и Q
— точки пересечения прямой PK
с ребром AA_{1}
и прямой BB_{1}
соответственно, E
и F
— точки пересечения прямой QR
с рёбрами соответственно B_{1}C_{1}
и CC_{1}
. Тогда требуемое сечение — шестиугольник MNFEKL
(его противоположные стороны попарно равны и параллельны).
Примечание. Из равенства треугольников AMP
и DMN
получаем, что
AP=DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}A_{1}B_{1}=A_{1}K.
Из равенства треугольников A_{1}LK
и ALP
получаем, что AL=LA_{1}
, т. е. L
— середина ребра AA_{1}
.
Аналогично получим, что E
и F
— середины рёбер B_{1}C_{1}
и CC_{1}
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(к), с. 8