9496. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середину ребра A_{1}B_{1}
, вершину A
и точку M
на ребре B_{1}C_{1}
, если B_{1}M:MC_{1}=1:3
.
Решение. Пусть N
— середина ребра A_{1}B_{1}
, P
— точка пересечения прямых AN
и BB_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, L
— точка пересечения прямых PM
и BC
, лежащих в плоскости BB_{1}C_{1}C
. Тогда требуемое сечение — четырёхугольник ANML
(это трапеция, так как MN\parallel AL
и MN\ne AL
).
Примечание. Из подобия треугольников NPB_{1}
и APB
получаем, что
PB_{1}:PB=NB_{1}:AB=NB_{1}:A_{1}B_{1}=1:2,
значит, B_{1}
— середина отрезка BP
. Тогда отрезок B_{1}M
— средняя линия треугольника BPL
, поэтому
BL=2B_{1}M=2\cdot\frac{1}{4}B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}=\frac{1}{2}BC.
Следовательно, L
— середина ребра BC
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(и), с. 8