9497. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середину ребра CC_{1}
и точки K
, L
, лежащие на рёбрах AB
и A_{1}B_{1}
, причём BK:KA=A_{1}L:LB_{1}=1:2
.
Решение. Пусть M
— середина ребра CC_{1}
, P
— точка пересечения прямых KL
и BB_{1}
, лежащих в плоскости AA_{1}B_{1}B
, N
и Q
— точки пересечения прямой PM
с ребром BC
и прямой B_{1}C_{1}
соответственно, E
— точка пересечения прямой QL
с ребром C_{1}D_{1}
. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MNKLE
.
Примечание. Поскольку
BK=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}A_{1}B_{1}=\frac{1}{2}B_{1}L
и BK\parallel B_{1}L
, отрезок BK
— средняя линия треугольника PB_{1}L
. Значит, BP=BB_{1}=CC_{1}
.
Из подобия треугольников PBN
и MCN
получаем, что
BN:NC=BP:MC=CC_{1}:MC=2:1.
Из равенства треугольников CMN
и C_{1}MQ
получаем, что
C_{1}Q=CN=\frac{1}{3}BC=\frac{1}{3}B_{1}C_{1},
поэтому QC_{1}:QB_{1}=1:4
. Наконец, из подобия треугольников QEC_{1}
и QLB_{1}
находим, что
EC_{1}=\frac{1}{4}LB_{1}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}A_{1}B_{1}=\frac{1}{6}A_{1}B_{1}=\frac{1}{6}C_{1}D_{1}.
Следовательно, C_{1}E:ED_{1}=1:5
.