9499. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
плоскостью, проходящей через середины рёбер AB
, BC
и DD_{1}
.
Решение. Пусть M
, N
и N
— середины рёбер AB
, BC
и DD_{1}
соответственно, P
и Q
— точки пересечения прямой MN
с прямыми соответственно AD
и CD
, E
и L
— точки пересечения прямой PK
с ребром AA_{1}
и прямой QK
с ребром CC_{1}
соответственно. Тогда требуемое сечение — пятиугольник MEKLN
.
Примечание. Из равенства треугольников AMP
и BMN
получаем, что
AP=BN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD,~AP:DP=1:3.
Из подобия треугольников AEP
и DKP
получаем, что
AE=\frac{1}{3}DK=\frac{1}{6}DD_{1}=\frac{1}{6}AA_{1}.
Следовательно,
AE:EA_{1}=\frac{1}{6}AA_{1}:\frac{5}{6}AA_{1}=\frac{1}{5}.
Аналогично CL:LC_{1}=1:5
.
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 2(е), с. 8